Все слышали о том, что математик Григорий Перельман доказал гипотезу пуанкаре.

При этом мало кто пытается разобраться, в чем же состоит эта гипотеза. Многих на этом пути останавливает предрассудок, состоящий в том, что высшая математика это, что-то очень сложное и не доступное пониманию простого обывателя.
Профессор МГУ доктор физ - мат наук Владимир Андреевич успенский считает, что обывателю вполне доступно понимание сути подобных проблем и в своей книге "Апология Математики" популярным языком объясняет в чем состоит гипотеза пуанкаре.

На современном языке гипотеза пуанкаре звучит так: всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

Разберемся с терминами:

Связное - значит, состоит из одного куска.

Односвязное - значит, любую кривую на нем можно стянуть в точку. Поверхность шара односвязна - если там лежит эластичная резинка, ее можно стянуть в точку, не отрывая от поверхности. А поверхность кольца уже не односвязна, если резинку надеть поперек, то в точку ее стянуть не получится.

Компактное - значит, не бесконечное. Треугольник компактный, а его угол - нет.

Трехмерное многообразие без края - значит, каждая точка может быть представлена как трехмерный шар. Например, наша вселенная. А трехмерный куб - это уже многообразие с краем, потому что точки на его поверхности не могут быть представлены как трехмерные шарики.

Гомеоморфно - значит что-то одно можно превратить во что-то другое "Непрерывной Деформацией" - без разрывов и склеиваний. Бублик гомеоморфен кружке, но не гомеоморфен шару. Нельзя никак шарик растянуть в тор, нигде не разрывая его.

А теперь слово Владимиру успенскому:

"Обычная сфера, которая есть поверхность обычного шара, двумерна (а сам шар - тот трёхмерен. Двумерная сфера состоит из всех точек трёхмерного пространства, равноудалённых от некоторой выделенной точки, называемой центром и сфере не принадлежащей. Трёхмерная сфера состоит из всех точек четырёхмерного пространства, равноудалённых от своего центра (сфере не принадлежащего. В отличие от двумерных сфер трёхмерные сферы недоступны нашему непосредственному наблюдению, и нам представить себе их так же трудно, как Василию Ивановичу из известного анекдота квадратный трёхчлен. Не исключено, однако, что все мы как раз в трёхмерной сфере и находимся, то есть что наша вселенная является трёхмерной сферой. В этом состоит значение результата Перельмана для физики и астрономии. Термин "Односвязное Компактное Трёхмерное Многообразие без Края" содержит указания на предполагаемые свойства нашей вселенной. Термин "Гомеоморфно" означает некую высокую степень сходства, в известном смысле неотличимость.

Формулировка гипотезы в целом означает, следовательно, что если наша вселенная обладает всеми свойствами односвязного компактного трёхмерного многообразия без края, то она - в том же самом "Известном Смысле" - и есть трёхмерная сфера.