Наука для всех простыми словами

Самый лучший сайт c познавательной информацией.

Решетчатое умножение. Чтобы освоить умножение многозначных чисел, нужно всего лишь знать таблицу умножения и уметь складывать числа.

13.09.2016 в 18:28

В сущности, вся сложность заключается в том, как правильно разместить промежуточные результаты умножения (частичные произведения. Стремясь облегчить вычисления, люди придумали множество способов умножения чисел. За многовековую историю математики их набралось несколько десятков.

Наследие индусов - способ решётки.


Индусы, с давних времён знавшие десятичную систему счисления, пред почитали устный счёт письменному. Они изобрели несколько способов быстрого умножения. Позже их заимствовали арабы, а от них эти способы перешли к европейцам. Те, однако, ими не ограничились и разработали новые, в частности тот, что изучается в школе, - умножение столбиком. Этот способ известен с начала XV века, в следующем столетии он прочно вошёл в употребление у математиков, а сегодня им пользуются повсеместно. Но является ли умножение столбиком лучшим способом осуществления этого арифметического действия? На самом деле существуют и другие, в наше время забытые способы умножения, ничуть не хуже, например способ решётки.


Этим способом пользовались ещё в древности, в средние века он широко распространился на Востоке, а в эпоху возрождения - в Европе. Способ решётки именовали также индийским, мусульманским или "Умножением в Клеточку". А в Италии его называли "Джелозия", или "решётчатое умножение" (Gelosia в переводе с итальянского - "жалюзи", "решётчатые ставни". Действительно, получавшиеся при умножении фигуры из чисел имели сходство со ставнями - жалюзи, которые закрывали от солнца окна венецианских домов.


Суть этого нехитрого способа умножения поясним на примере: мы вычислим произведение 296 x 73. Начнём с того, что нарисуем таблицу с квадратными клетками, в которой будет три столбца и две строки, - по количеству цифр в множителях. Клетки пополам по диагонали разделим. Над таблицей запишем число 296, а с правой стороны вертикально - число 73. Перемножим каждую цифру первого числа с каждой цифрой второго и запишем произведения в соответствующие клетки, располагая десятки над диагональю, а единицы под ней. Цифры искомого произведения сложением цифр в косых полосах получим. При этом будем двигаться по часовой стрелке, начиная с правой нижней клетки: 8, 2 1 7 и т. д. запишем результаты под таблицей, а также слева от неё. В том случае, если при сложении получится двузначная сумма, укажем только единицы, а десятки прибавим к сумме цифр из следующей полосы. Ответ: 21 608. Итак, 296 x 73 = 21 608.


Способ решётки ни в чём не уступает умножению столбиком. Он даже проще и надёжнее, при том, что количество выполняемых действий в обоих случаях одинаково. Во-первых, работать приходится только с однозначными и двузначными числами, а ими легко оперировать в уме. Во-вторых, не требуется запоминать промежуточные результаты и следить за тем, в каком порядке их записывать. Память разгружается, а внимание сохраняется, поэтому вероятность ошибки уменьшается. К тому же способ решётки позволяет быстрее получить результат. Освоив его, вы сможете убедиться в этом сами.


Почему способ решётки приводит к правильному ответу? В чём заключается его "Механизм"? Разберёмся в этом с помощью таблицы, построенной аналогично первой, только в этом случае множители представлены как суммы 200 90 6 и 70 3.


Как видим, в первой косой полосе стоят единицы, во второй - десятки, в третьей - сотни и т. д. при сложении они дают в ответе соответственно число единиц, десятков, сотен и т. д. дальнейшее очевидно:

10 10 1500. 100. 8 _ 21608.

Иначе говоря, в соответствии с законами арифметики произведение чисел 296 и 73 вычисляется так:

296 x 73 = (200 90 6) x (70 3) = 14 000 6300 420 600 270 18 = 10 000 (4000 6000) (300 400 600 200) (70 20 10) 8 = 21 608.

Палочки непера.

Умножение способом решётки лежит в основе простого и оригинального счётного прибора - палочек непера.

Его изобретатель Джон непер, шотландский барон и любитель математики, наряду с профессионалами занимался усовершенствованием средств и методов вычисления. В истории науки он известен, прежде всего, как один из создателей логарифмов.

Прибор состоит из десяти линеек, на которых размещена таблица умножения. В каждой клетке, разделённой диагональю, записано произведение двух однозначных чисел от 1 до 9: в верхней части указано число десятков, в нижней - число единиц. Одна линейка (левая) неподвижна, остальные можно переставлять с места на место, выкладывая нужную числовую комбинацию. При помощи палочек непера легко умножать многозначные числа, сводя эту операцию к сложению.

Например, чтобы вычислить произведение чисел 296 и 73, нужно умножить 296 на 3 и на 70 (сначала на 7, затем на 10) и сложить полученные числа. Приложим к неподвижной линейке три другие - с цифрами 2, 9 и 6 наверху (они должны образовать число 296. Теперь заглянем в третью строку (номера строк указаны на крайней линейке. Цифры в ней уже знакомый нам набор образуют.

Складывая их, как в способе решётки, получим 296 x 3 = 888. Аналогично, ра? 6