Алексей семихатов "Математический Язык в Познании и Мышлении".

По поводу математики передо мною стоит не отвеченная загадка, которую я задаю себе снова и снова: вот если завтра или сегодня вечером вот здесь поблизости высадятся инопланетяне, приземлится их большой корабль, то число "пи", которое будет у этих инопланетян, знанием про который они будут обладать, оно после необходимых пересчётов совпадёт с нашим числом "пи" или нет? С одной стороны, почему это загадка, почему у меня нет на неё ответа: потому что с одной стороны что получается - с одной стороны, число "пи", конечно, существует только у меня в голове, как и любое другое число. Выходя из дома, я никогда ни разу в жизни не спотыкался о число 5 или число 7. на улице может быть восемь домов, а в парке десять деревьев, но это парки или деревья. Чисел самих по себе не существует, сколь скоро не существует того, кто своей головой этими числами как-то эти предметы не сосчитал. С другой стороны, меня не оставляет мысль, что, если у этих инопланетян представление о числе "пи", условно говоря, какое-то неверное, то они неправильно посчитают объём какой-нибудь части своего двигателя, их космический корабль взорвётся и уж точно до нас не долетит. Значит, эта загадка - загадка о том, какова природа математического знания, и что собственно выражает математика - это большая тайна. Ну, по крайней мере, я её воспринимаю как тайну.

Природа, на удивление, непостижимым образом содержит в себе числа или, может быть, мой взгляд на природу проходит через какой-то интерфейс, где присутствуют числа. Ну, например: всё, что происходит во вселенной, подчинено каким-то законам и довольно жёстким ограничениям. Самое большое ограничение и, пожалуй, самое принципиальное какое есть - это закон сохранения энергии. Число. Это это удивительно! всём качественном разнообразии того, что происходит во вселенной, - звёзды, планеты, кипение воды, функционирование нашего тела, солнечный свет, течение рек, вообще всё что угодно, двигатель внутреннего сгорания, в конце концов - сохраняется некоторое число. Почему почему это число? почему оно сохраняться должно? и как во вселенную встроен счётчик, который всё время следит за каким-то балансом? Отдельный юмор, конечно, состоит в том, что, согласно современным воззрениям, это число для всей всей вселенной вообще, для всей вселенной целиком, оно заодно равно нулю. То есть, где-то положительно, где-то отрицательно (что, кстати, говорит нам о необходимости отрицательных чисел), а в целом нулю. И только потому, что нулю, говорит нам современная наука, вселенная вообще могла родиться, потому что она родилась, скорее всего, из ничего, а ноль - это примерно ничто.
Эти странные вещи и есть, в каком-то смысле, предпосылки того, почему мир познаваем, в сильной степени познаваем средствами математики. Математика обладает свойством опережать экспериментальное знание и позволяет нам силой мысли проникать туда, в те уголки вселенной, куда мы физически проникнуть не можем. Это - странное непостижимое и совершенно непонятное свойство. Мне не очень понятно свойство это мира или свойство это математики. Но но так происходит. пример такого рода - это, например, знаменитое открытие планет "на Кончике Пера". Человек брал лист бумаги и сидел за ним несколько лет, делая вычисления. Потом подзывает астронома и говорит: "Вот Посмотри Туда, в ту Область Неба, и Увидишь там Планету, Которую до Этого Никто не Видел". Действительно, история была немножко более интересная: как обычно, люди, которых попросили посмотреть на небо, не вполне были уверены в том, что эти вычисления достойны внимания, и у них были другие заботы, им нужно было руководить, выражаясь современным языком, студентами, аспирантами, и писать научные статьи, и участвовать в учёных советах, писать отчёты и так далее. Тем не менее, в конце концов, нашлась группа людей, которая поступила точно таким образом, и так, например, была открыта планета Нептун. Были проделаны вычисления, которые говорили о том, что имеющиеся, как бы, нарушения траектории предыдущей планеты возможно объяснить, если предположить, что есть ещё одно тело, доселе неизвестное, и из видимых с помощью телескопа нарушений предыдущей планеты, последней известной в то время (а дело происходило в девятнадцатом веке) вычислить с помощью математики длинных сложных расчётов, которые сейчас, наверное, можно положить на компьютер, что тоже, впрочем, займёт некоторое время, а тогда они потребовали время, исчисляемое порядком нескольких лет, с помощью этих расчётов узнать, где могла бы двигаться новая планета, где могло бы двигаться новое небесное тело. Там там оно и оказалось. событие в значительно степени укрепило людей в мысли о том, что вообще вот мир действительно примерно так и устроен, каждый его кусочек подчиняется уравнениям. Мне неизвестно, почему падающее яблоко и луна, летающая вокруг земли, подчиняются одному и тому же уравнению. Это это было неизвестно и ньютону в точно такой же мере. смысл анекдота о яблоке, про ньютона, о том, что он сидел, смотрел на луну, упало яблоко, он придумал закон всемирного тяготения, смысл анекдота про яблоко состоит в том, конечно, в революционной для того времени идеи, что и луна и яблоко подчиняются одним и тем же законам. Причём мы не очень понимаем, как они это делают, каким образом и кусочек яблока и каждый кусочек луны знают о том, что он должен следовать одному и тому же закону, который сэр Исаак ньютон просто угадал.
Тем не менее, происходил успех за успехом, и эта вот идея о том, что средствами логического анализа можно узнать недостающие куски реальности, она ярко выразилась в истории с электричеством, более того с радиосвязью, только тогда ещё никто не знал слова "Радиосвязь", а имелись к середине девятнадцатого века опять же записанные законы нескольких людей, там закон кулона (самый старый, который говорил о том, как электрические заряды притягиваются, математически выраженный), ещё там закон ампера, кого-то ещё. О магнитных и электрических полях, о том какие электрические поля, какие магнитные поля создаются токами, потом появился закон Фарадея. Это были как бы математические утверждения, но они существовали изолированно более-менее сами по себе. Максвелл задался следующей целью: а нет ли единого математического формализма, в котором все эти законы записывались бы одинаково, однотипно, в некотором смысле равномерно. Ну, такая задача, которая, казалось бы, академический интерес носит, потому что эти законы прекрасно работали сами по себе каждый по отдельности. И, в общем, можно было бы этого вроде бы не делать. Он разработал математический язык (наша основная тема всё-таки сейчас не электричество, не радиоволны, а математика. Он разработал математический язык, на котором удалось записать эти законы некоторым единым образом в виде того, что потом и навсегда уже теперь стали называть уравнениями максвелла. Чудо - чудо: эти уравнения оказались противоречивыми. Математически математически противоречивыми. них следовало нечто типа того, что единица равна нулю, то, чего не может быть выполнено. И странным образом это означало, что в описании природы имеется некое противоречие. Его не было видно, пока мы не приложили вот этот специально разработанный математический аппарат, он называется векторное дифференциальное исчисление, важно, что он какой-то есть. Это это средство формального анализа. вообще что такое математика? рафинированный, то есть очень сильно развитый, очищенный от всего остального, логический анализ, так сказать, далеко проведённый логический анализ. Из каждого отдельного из этих самых законов, описывающих куски природы по отдельности, не было видно, что они противоречат друг другу. О чудо - с помощью математических действий удалось показать, что они противоречат.
Значит, мне кажется, что максвелл должен был себя чувствовать исключительно странно, потому что, когда вы задаётесь задачей о том, чтобы всего лишь более систематически записать то, что было известно раньше, и видеть, что в том, что все хорошо знали, имеются противоречия, вы должны себя немножко странно чувствовать. Вы можете, например, начать сомневаться в качестве вашего математического аппарата. На самом деле, с ним было всё хорошо. Дальше максвелл сделал следующее чудо: он разглядывал свои уравнения. Про уравнения среди математиков и физиков ходит знаменитая фраза о том, что любят уравнения - уравнения любят, чтобы их разглядывали. Максвелл делал именно это, и разглядывая их, увидел, что они разбиваются на две пары (их всего четыре), и пары немножко похожи друг на друга. Но в одной чего-то немножко не хватает по сравнению с другой парой. "Давайте" - сказал максвелл сам себе, по-видимому, - "допишем туда слагаемое руками", которое не следовало ни из какого опыта, так, чтобы уравнения стали совсем похожи друг на друга, возникла бы некоторая симметрия между двумя парами уравнений максвелла. Он он туда это слагаемое дописал. оно не следовало ни из какого опыта! был скачок мысли, ясный и абсолютно чистый логический скачок, абсолютно никак не обоснованный, кроме разрешения математического противоречия. Выяснилось, что противоречие снялось. То противоречие, которое он вывел. Оно исчезло. Но цена этого дополнительного слагаемого дописанного в уравнения, в законы природы, оказалась непомерно высокой: у уравнений возникли новые решения, которые там, где электрическое магнитное поле, вели себя странно, при удалении от источника они убывали не слишком сильно. Это и были радиоволны, только открыты они были экспериментально лет через там десять, пятнадцать после смерти максвелла. Несомненно, это одно из чудес такого сорта, когда сила мысли и логики позволяет догадаться о том, что мы до сих пор в природе в природе пропускали, будь то планета на краю солнечной системы или будь то магнитные волны, которые, мы теперь знаем, присутствуют абсолютно везде.
Вслед вслед за максвеллом события стали развиваться с всё увеличивающеюся быстротой. сумел разработать свой математический аппарат для описания гравитационных сил и написать уравнения, одним из решений которых могла бы быть вся вселенная. Дальше выяснилось, что логически возможно добавить в эти уравнения некоторое слагаемое - некоторая параллель тому, что делал максвелл, хотя здесь эго можно добавлять, а можно не добавлять. Эйнштейн его добавил, руководствуясь, по-видимому, ложными соображениями, потом всю жизнь считал это своей самой большой ошибкой. А сейчас выяснилось, что нечто типа этого слагаемого весьма вероятно описывает экспериментально недавно - на рубеже тысячелетия - обнаруженный эффект - ускоренное расширение вселенной: что вселенная расширяется не так, как думали раньше, а что-то её расталкивает, она расширяется всё быстрее и быстрее. Опять же, удивительная вещь. Чисто средствами логики удаётся увидеть, что может происходить в природе. Я уж не говорю о том, что огромное количество вещей, которые не могут происходить в природе, мы тем самым можем исключить.
И современное познание природы в значительной степени на фундаментальном уровне продолжает вот эту традицию. Мне не очень ясно, как долго она будет продолжаться, но традиция эта сильна, инерция колоссальна, инерция успеха, достигнутого просто средствами ума и средствами математики выводов того, что может происходить в мире, причём либо на очень маленьких масштабах, либо в масштабах всей вселенной, либо в недоступных до какого-то момента там спектрах электромагнитных волн или в кварках или в большом адронном коллайдере и так далее и так далее. По причинам, которыми я могу только не переставать восхищаться, вселенная в природе своей очень математична. Ну, или мой мозг устроен так, что всё, что я вижу, я вижу только через призму математического восприятия реальности. На это у нас, по-видимому, никогда не будет ответа, потому что у нас нет другого способа посмотреть на вселенную. И это, может быть, приводит нас к первой загадке, с которой я начал: что будет числом "пи" у инопланетян. Неизвестно, что будет числом "пи" у инопланетян, потому что совершенно неизвестно заранее, будут ли они видеть вселенную точно так же, будет ли она наполнена тем же количеством математики, каким она кажется наполненной нам. Мы, однако, исключительно успешно действуем в этой вселенной, руководствуясь вот таким способом её восприятия.