Что такое классическая физика?

Термин классическая физика относится к той физике, которая существовала до появления квантовой механики. Классическая физика включает ньютоновские законы движения частиц, теорию электромагнитного поля максвелла - Фарадея и общую теорию относительности Эйнштейна. Но это нечто большее, чем просто конкретные теории конкретных явлений; это ряд принципов и правил - базовая логика, подчиняющая себе все явления, для которых несущественна квантовая неопределенность
. Этот свод общих правил классической механикой называется.

Задача классической механики в предсказании будущего состоит. Великий физик восемнадцатого века Пьер - Симон Лаплас выразил это в знаменитой цитате:

"Состояние вселенной в данный момент можно рассматривать как следствие ее прошлого и как причину ее будущего. Мыслящее существо, которое в определенный момент знало бы все движущие силы природы и все положения всех объектов, из которых состоит мир, могло бы - если бы его разум был достаточно обширен для того, чтобы проанализировать все эти данные, - выразить одним уравнением движение и самых больших тел во вселенной, и мельчайших атомов; для такого интеллекта не осталось бы никакой неопределенности и будущее открылось бы перед его взором точно так же, как и прошлое. В классической физике, если вы знаете все о состоянии системы в некоторый определенный момент времени, а также знаете уравнения, определяющие изменения, происходящие в системе, вы можете предсказать будущее. Именно это мы имеем в виду, говоря, что классические законы физики детерминистичны.

Простые динамические системы и пространство состояний.

Совокупность объектов (частиц, полей, волн - чего угодно) называется системой. Систему, представляющую собой всю вселенную или настолько изолированную от всего остального, что она ведет себя так, будто ничего больше не существует, называют замкнутой.

Чтобы почувствовать, что такое детерминистичность и обратимость, мы начнем с очень простого примера замкнутых систем. Они значительно проще тех вещей, которые мы обычно изучаем в физике, но они подчиняются правилам, которые являются предельно упрощенным вариантом классической механики. Представьте себе абстрактный объект, имеющий лишь одно состояние. Можно, например, представить монету, приклеенную к столу, которая всегда показывает свой аверс. На жаргоне физиков совокупность всех состояний, занимаемых системой, называется пространством состояний. Это не обычное пространство; это математическое множество, элементы которого соответствуют возможным состояниям системы. В нашем случае пространство состояний содержит лишь одну точку, а именно аверс (или просто а), поскольку система имеет лишь одно состояние. Предсказать будущее такой системы чрезвычайно просто: с ней никогда ничего не происходит, и результатом любого наблюдения всегда будет а.

Следующая по простоте система имеет пространство состояний, содержащее две точки; в этом случае у нас имеется один абстрактный объект и два возможных состояния. Можете представлять себе монету, выпадающую либо аверсом, либо реверсом (а или Р) - рис. 1. в классической механике считается, что системы изменяются плавно, без прыжков или перерывов. Такое поведение называют непрерывным. Очевидно, что из состояния аверс нельзя непрерывно перейти в состояние реверс. Движение в данном случае неизбежно происходит дискретными скачками. Так что давайте предположим, что время тоже идет дискретными шагами, которые нумеруются целыми числами. Мир с такой дискретной эволюцией можно стробоскопическим назвать.

Система, которая с ходом времени изменяется, называется динамической. Динамическая система - это не только пространство состояний. Она также включает закон движения, или динамический закон. Это правило, которое говорит, какое состояние станет следующим после текущего.

Один из простейших динамических законов состоит в том, что состояние в следующий момент будет таким же, как сейчас. Тогда в нашем примере возможны две истории: а. и Р. другой динамический закон диктует, что каким бы ни было текущее состояние, следующее за ним будет противоположным. Можно нарисовать диаграммы, иллюстрирующие эти два закона. На рис. 2 показан первый закон, когда а всегда переходит в а и стрелка от Р идет к Р. и вновь будущее очень легко предсказать: если начать с а, система останется в состоянии а; если начать с Р, система останется в Р.

Диаграмма для второго возможного закона на рис представлена. 3, где стрелки идут от а к Р и от Р к а. будущее по-прежнему можно предсказывать. Например, если начать с а, то история будет: а Р а Р а Р а Р а Р. если же начать с Р, получится история: Р а Р а Р а Р а ….

Можно также записать эти динамические законы в виде формул. Переменные, описывающие систему, называются степенями свободы. У нашей монеты одна степень свободы, которую можно обозначить греческой буквой сигма. Сигма только два возможных значения имеет? = 1 и? = - 1 соответственно для а и Р. нам также нужен символ для обозначения времени. Когда рассматривается непрерывное течение времени, его принято обозначать t. но у нас эволюция дискретна, и мы будем использовать n. состояние в момент n обозначается выражением (n), то есть значение? В момент n. параметр n последовательно принимает значения всех натуральных чисел, начиная с 1.

Запишем уравнения эволюции для двух рассматриваемых законов. Первый из них гласит, что никаких изменений не происходит. Его уравнение - (n 1) = (n. другими словами, каким бы ни было значение? На n - м шаге, то же значение будет и на следующем шаге.

Второе уравнение эволюции имеет вид (n 1) = - (n), что означает перемену состояния на каждом шаге.

Поскольку в обоих случаях будущее поведение полностью детерминировано начальным состоянием, такие законы называются детерминистическими. Все фундаментальные законы классической механики - детерминистические.

Давайте ради интереса обобщим систему, увеличив число состояний. Вместо монеты можно использовать шестигранную игральную кость, имеющую шесть воз - можных состояний (рис. 4.

Теперь число возможных законов значительно возрастает и их становится нелегко описать словами и даже формулами. Проще всего рассмотреть диаграмму вроде приведенной на рис. 5. из нее видно, что номер состояния, заданный в момент n, увеличивается на единицу в следующий момент n 1. это работает, пока мы не дойдем до состояния 6, где диаграмма предписывает вернуться в состояние 1 и повторить процесс. Такая бесконечно повторяющаяся схема называется циклом. Например, если начать с состояния 3, то история будет иметь вид: 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, . назовем эту схему динамическим законом 1.

На рис. 6 показан другой закон - динамический закон 2. он выглядит несколько более запутанным, но логически он идентичен предыдущему: в обоих случаях система бесконечно обходит в цикле все шесть возможных состояний. Внимание! Только в том случае, если переименовать состояния, то динамический закон 2 станет точно таким же, как динамический закон 1.

Но не все законы логически эквивалентны. Рассмотрим, например, закон, показанный на рис. 7. этот динамический закон 3 имеет два цикла. Таким образом, если начать двигаться в одном из них, то невозможно попасть в другой. Тем не менее этот закон детерминистичен совершенно. С какого бы состояния вы ни начали, будущее остается предопределенным. Например, если начать с состояния 2, получится история: 2, 6, 1, 2, 6, 1, … и состояние 5 никогда не будет достигнуто. В случае если же начать с состояния 5, то история будет иметь вид: 5, 3, 4, 5, 3, 4, … и недостижимым окажется состояние 6.

На рис. 8 показан динамический закон 4 с тремя циклами.

Понадобилось бы много времени, чтобы нарисовать все возможные динамические законы в системе с шестью состояниями.

Правила, которые не разрешены: минус первый закон.

Согласно правилам классической физики допустимы не все законы. Для динамического закона недостаточно быть детерминистичным; он еще должен быть обратимым.

Смысл обратимости (в контексте физики) можно описать несколькими способами. Самый простой из них - сказать, что можно развернуть все стрелки и получившийся в результате закон останется детерминистичным. Другой способ - сказать, что закон детерминистичен как в прошлом, так и в будущем. Вспомним замечание Лапласа о том, что ". Для такого интеллекта не осталось бы никакой неопределенности, и будущее открылось бы перед его взором точно так же, как и прошлое". Можно ли придумать закон, который будет детерминистичным в будущем, но не в прошлом? Иными словами, можно ли привести пример необратимого закона? Да, можно. Рассмотрим рис. 9.

Закон, представленный на рис. 9, для любого состояния говорит, куда надо перейти дальше. В том случае, если вы находитесь в состоянии 1, то переходите в 2. если в 2, то в 3. если в 3, то в 2. нет никакой неоднозначности относительно будущего. Иное дело - прошлое. Допустим, вы находитесь в состоянии 2. где вы были в предыдущий момент? Вы могли прийти из состояния 3 или 1. диаграмма об этом ничего не говорит. Хуже того, если рассмотреть обратный закон, то окажется, что нет состояния, которое вело бы к 1; состояние 1 не имеет прошлого. Закон, изображенный на рис. 9, необратим. Он дает пример ситуации, запрещенной принципами классической физики.

Обратите внимание, что если развернуть стрелки на рис. 9, то получится закон, представленный рис. 10, который не может однозначно сказать, как двигаться в будущем.

Есть очень простое правило, говорящее, когда диаграмма представляет детерминистичный и обратимый закон. В случае если у каждого состояния есть ровно одна стрелка, ведущая к нему, и ровно одна стрелка, выходящая из него, то это допустимый детерминистичный обратимый закон. Сформулируем это в виде слогана: должна быть только одна стрелка, указывающая, откуда вы пришли, и только одна стрелка, указывающая, куда вам следует пойти.

Правило, согласно которому динамические законы должны быть детерминистичными и обратимыми, настолько важно для классической физики, что в учебных курсах о нем порой попросту забывают упомянуть. У него даже нет названия. Можно назвать его первым законом, но, к сожалению, у нас уже есть два первых закона - первый закон ньютона и первое начало термодинамики. Поэтому, чтобы обозначить приоритет, мы вынуждены будем отступить и обозначить этот принцип как минус первый закон, и это, несомненно, самый фундаментальный из всех физических законов - закон сохранения информации. Сохранение информации - это по сути правило, согласно которому у любого состояния есть одна входящая стрелка и одна исходящая. Тем самым гарантируется, что вы никогда не собьетесь с пути, откуда бы вы ни стартовали.

Динамические системы с бесконечным числом состояний.

До сих пор во всех наших примерах пространство состояний имело конечное число элементов. Но нет причин, мешающих нам рассмотреть динамическую систему с бесконечным числом состояний. Представьте себе, например, линию с бесконечным числом отдельных точек вдоль нее, подобно железнодорожной линии с бесконечной последовательностью станций в обоих направлениях. Допустим теперь, что некий маркер может в соответствии с некоторым правилом прыгать от одной точки к другой. Для описания такой системы мы пометим все точки вдоль линии целыми числами подобно тому, как нумеровали состояния в рассмотренных ранее примерах. Поскольку мы уже использовали букву n для дискретных шагов во времени, давайте использовать заглавную N для отслеживания маршрута. История маркера будет представлять собой функцию N (n), которая возвращает место N для каждого момента времени n. короткий участок этого пространства состояний изображен на рис. 11. очень простой динамический закон для такой системы показан на рис. 12. Он состоит в сдвиге маркера на одну позицию в положительном направлении с каждым шагом по времени.

Это правило допустимо, поскольку у каждого состояния только одна входящая стрелка и одна исходящая.

Такое правило нетрудно записать в форме уравнения:
(n 1) N = N (n) 1. (1).

А вот другие возможное правило:
(n 1) N = N (n) 2, (2).

По формуле (1), где бы ни началось движение, вы в конце концов доберетесь до любой точки, двигаясь либо в будущее, либо в прошлое. Можно сказать, что тут имеет место один бесконечный цикл. А вот по формуле (2), начав с нечетного значения N, вы никогда не попадете на четное, и наоборот. Поэтому мы говорим, что тут наличествуют два бесконечных цикла.

Можно также добавить к системе качественно иные состояния, создав с их участием дополнительные циклы, как показано на рис. 13. если начать с числа, то мы по-прежнему будем двигаться по верхней линии, как и на рис. 12. но если начать с буквы A или B, то мы закрутимся в цикле между ними. Так что возможна смешанная ситуация, когда в одних случаях мы обходим лишь некоторые состояния, а в других - движемся в бесконечность.

Циклы и законы сохранения.

Когда пространство состояний разделено на несколько циклов, система остается в том цикле, в котором начала движение. Каждый цикл имеет свой собственный динамический закон, но все они - часть одного пространства состояний, поскольку описывают одну динамическую систему. Рассмотрим систему с тремя циклами. Каждое из состояний 1 и 2 представляет собой отдельный цикл, а состояния 3 и 4 принадлежат третьему (рис. 14.

Всякий раз, когда динамический закон делит пространство состояний на подобные отдельные циклы, система "Запоминает", с какого состояния мы стартовали. Подобная память называется законом сохранения; он говорит нам, что нечто остается неизменным с течением времени. Чтобы придать закону сохранения количественную форму, припишем каждому циклу численное значение, обозначаемое Q. в примере на рис. 15 три цикла обозначены как Q = 1, Q = - 1 и Q = 0. каким бы ни было значение Q, оно всегда остается неизменным, поскольку динамический закон не позволяет перепрыгивать с одного цикла на другой. Проще говоря, значение Q сохраняется.

Пределы точности.

Лаплас был чрезмерно оптимистичен относительно предсказуемости мира даже в рамках классической физики. Он, конечно, согласился бы с тем, что для предсказания будущего потребуется идеальное знание управляющих миром динамических законов и чудовищная вычислительная мощь, которую он характеризовал как разум, который "Достаточно Обширен для Того, Чтобы Проанализировать все эти Данные". Но есть еще один момент, который он, возможно, недооценил: способность знать начальные условия с почти идеальной точностью. Представьте себе игральную кость с миллионом граней, которые помечены символами, похожими на обычные цифры, но слегка различающимися, так что получается миллион различимых меток. Таким образом, если знать динамический закон и суметь распознать начальную метку, то можно предсказать будущую историю кости. Но если титанический лапласовский интеллект страдает небольшими проблемами со зрением, из-за чего не различает очень похожие метки, то его предсказательная способность будет ограниченной.

В реальном мире все обстоит еще хуже; пространство состояний не просто необъятно по числу точек, оно непрерывно и бесконечно. Другими словами, оно размечено совокупностью вещественных чисел, вроде тех, что задают координаты частиц. Множество вещественных чисел столь плотно, что любое из них имеет бесконечное число сколь угодно близких соседей. Способность различать соседние значения этих чисел - это "Разрешающая Способность", характеризующая любой эксперимент, и для любого реального наблюдателя она ограничена. В большинстве случаев крошечные различия в начальных условиях (стартовом состоянии) приводят к значительным расхождениям в результатах. Это явление называют хаосом. Лишь в том случае, если система хаотическая (а таково большинство систем), то как бы велика ни была разрешающая способность, время, в течение которого система будет предсказуемой, ограничено. Идеальная предсказуемость недостижима просто потому, что мы ограничены в своей разрешающей способности. Л. сасскинд, Д. грабовски. Теоретический минимум.